WISKUNDIG AANHANGSEL
De metriek van open en gesloten werelden
MENU
- OPEN EN GESLOTEN WERELDEN
- DE METRIEK VAN EEN GESLOTEN WERELD
- DE METRIEK VAN EEN OPEN WERELD
- IMAGINAIRE TIJD IN OPEN EN GESLOTEN WERELDEN
- INHOUDSOPGAVE
- Terug naar WELKOM OP DE WEBSITE
We gaan nader in op de gesloten wereld van een isotrope Riemann ruimte met constante positieve kromming en de open wereld van een ruimte met constante negatieve kromming. Deze laatste ruimte wordt ook wel Lobatjevsky ruimte genoemd.
We zullen zien dat een 3-dimensionale Riemann ruimte met constante kromming de metriek heeft van een 3-dimensionaal hyperbolvlak ingebed in een fictieve euclidsche 4-ruimte in analogie met een 2-dimensionaal boloppervlak ingebed in een euclidische 3-ruimte. De krommimg en kromtestraal van de ruimte komt overeen met de kromming en kromtestraal van een boloppervlak. Een negatieve kromming zal worden voorgesteld door een imaginaire straal.
We stellen ons een vier dimensionale euclidische ruimte voor met coördinaten x1, x2, x3 en x4. De eerste drie van deze coördinaten laten we samenvallen met de ons bekende drie ruimtelijke coördinaten. De vierde coördinaat is een fictieve ruimtelijke coördinaat. Een hyperbol met straal a heeft in deze vier-ruimte de wiskundige vorm x1²+x2²+x3²+x4²=a².
De afstand tussen twee punten op de hyperbol is:
dL²=dx1²+dx2²+dx3²+dx4². We elimineren de vierde coördinaat en vinden voor de formule voor de ruimtelijke afstand:
dL²=dx1²+dx2²+dx3²+(x1.dx1+x2.dx2+x3.dx3)²/(a²-x1²-x2²-x3²).
We gaan over op gewone bolcoördinaten r, X en Ø, gedefinieerd in x1=r.cosØ.sinX, x2=r.sinØ.sinX en x3=r.cosX. Voor de metrische vergelijking vinden we dan:
dL²=(dr²+r²dX²+r²sin²Xdز)+(r²dr²)/(a²-r²).
Dit is te vereenvoudigen tot:
dL²=(dr²)/(1-r²/a²)+r²dO² met dO²=(dX²+sin²Xdز).
De kromtestraal a noemen we ook wel wereldstraal en de kromming k van de ruimte is gedefinieerd in k=1/a². Voor k positief, negatief of nul is er nu sprake van een drie dimensionale ruimte, die sferisch, pseudo-sferisch of vlak genoemd wordt. Als de straal zeer groot wordt, nadert de kromming tot nul. In dit geval naderen de sferische en pseudo-sferische ruimte tot de vlakke ruimte met de pythagorische uitdrukking voor de afstand (dL²=dx1²+dx2²+dx3²). Een aangroeiende straal in de vier-ruimte komt overeen met een uitdijende drie dimensionale ruimte.
Terug naar MENU
b. De metriek van een gesloten wereld.
We gebruiken de gewone bolcoördinaten r, X en Ø, gedefinieerd in x1=r.cosØ.sinX, x2=r.sinØ.sinX en x3=r.cosX. De infinitesimaal afstand dL tussen twee pumten voor een ruimte met konstante positieve kromming (K=1/a²) heeft dan de vorm:
dL²=(dr²)/(1-r²/a²)+r²dO² met dO²=(dX²+sin²X.dز).
De eerste term in deze metrische vergelijking staat in verband met de aangroeiing van de radiële afstand dLr=dr/Ö(1-r²/a²). De tweede term met de aangroeiing van de transversale afstand dLO=r.dO.
De omtrek van een circel is zoals gewoonlijk 2.PI.r. De straal Lr van deze circel volgt uit: Lr=ódr/Ö(1-r²/a²)=a.arcsin(r/a), waarbij r kan variëren van 0 tot a. Omdat r=a.sin(Lr/a) kunnen we de omtrek van een circel met straal r ook schrijven als: omtrek=2.PI.r=2.PI.a.sin(Lr/a). Wanneer we ons verwijderen van de oorsprong zien we bij steeds groter wordende radiële afstand, dat de omtrek van een circel voor Lr=PI.a/2 zijn maximale waarde 2.PI.a bereikt en daarna weer afneemt tot nul voor Lr=PI.a.
Het twee dimensionale analogon hiervan is een oppervlak van een bol met straal a. Stel dat we ons bevinden op de noordpool van onze aarde met wereldstraal a en dat Lr de radiële afstand is van de noordpool tot een parallelcircel, gemeten langs een meridiaan in het boloppervlak. De omtrek van de parallelcircel ligt in een dwarsdoorsnede van een vlak loodrecht op onze kijkrichting en de bol. De straal r wordt gemeten in de dwarsdoorsnede. Op radiële afstand Lr=PI.a/2 ligt de evenaar met maximale parallelcircel omtrek 2.PI.a en op afstand Lr=PI.a ligt de zuidpool met parallelcircel omtrek nul. Alle punten van dit boloppervlak zijn gelijkwaardig, zodat de noordpool, het punt waar we ons toevallig bevinden, geen bevoorrechte positie inneemt en ook elders gekozen had mogen worden.
Het oppervlak van een bol in de 4-ruimte heeft zoals gewoonlijk de waarde 4.PI.r², dit is ook te schrijven als 4.PI.sin²(Lr/a). Wanneer we ons verwijderen van de oorsprong zien we bij steeds groter wordende radiële afstand, dat de het oppervlak van een bol voor Lr=PI.a/2 zijn maximale waarde 4.PI.a² bereikt en daarna weer afneemt tot nul voor Lr=PI.a.
Voor de inhoud V van deze bol geldt dan: V=ó4.PI.r²dLr of V=ó4.PI.a3sin²(Lr/a).d(Lr/a) of V=óPI.a3[1-cos(2Lr/a)]d(2Lr/a) of V=PI.a3[(2Lr/a)-sin(2Lr/a). De inhoud van de bol zal bij steeds grotere waarden voor Lr gestadig toenemen tot het zijn halfwaarde bereikt bij Lr=PI.a/2 en zijn maximum waarde bij Lr=PI.a. Het maximum volume is 2.PI.²am3.
Deze wereld met constante positieve kromming is ruimtelijk gezien in zichzelf gesloten. Ze heeft wel een eindig volume, maar geen grenzen. De verhouding tussen omtrek en straal van een circel 2PI.r/Lr) is 2PI.sin(Lr/a)/(Lr/a) en is altijd kleiner dan 2.PI. Alleen als r klein is ten opzichte van de wereldstraal a mogen we voor deze verhouding 2.PI nemen.
De geometrie van de positief gekromde ruimte is gelijk aan de geometrie op een hyperbol met reële straal a in een fictieve 4-dimensionale ruimte. We kunnen ook bolcoördinaten nemen in deze euclidische 4-ruimte. Deze bolcoördinaten a,X,Ø,ß zijn gßelieerd met de euclidische coördinaten x1,x2,x3,x4:
x1=a.sinß.cosØ.sinX, x2=a.sinß.sinØ.sinX, x3=a.sinß.cosX en x4=a.cosß, waarbij r=a.sinß. De coördinaten r,X,Ø vallen samen met onze gewone ruimtelijke coördinaten. We beschouwen ß als een ruimtelijke hoek in de 4-ruimte, de loopt van 0 tot PI. Er geldt dr=a.cosß.dß en dr²/(1-a²/r²)=dr²/cos²ß. De metrische vergelijking krijgt dan de vorm:
dL²=a²[dß²-sin²ß(dX²+sin²X.dز].
De infinitesimale radiële afstand is dLr=a.dß, zodat Lr=a.ß. De infinitesimale transversale afstand is dLO=a.sinß.dO met dO²=(dX²+sin²X.dز), zodat een circelomtrek 2.PI.a.sinß en een boloppervlak 4.PI.a²sin²ß is. De inhoud van een bol is V=ó4.PI.r²dLr of V=ó4.PI.a²sin²ß.a.dß=óPI.a3[1-cos(2ß)]d(2ß) of V=PI.a3[2ß-sin(2ß). De maximale waarden (voor r=a) worden dan weer voor de omtrek 2.PI.a, voor het oppervlak 4.PI.a² en voor de inhoud 2.PI.²am3.
Voor de inhoud of volume V mogen we ook schrijven:
V=Vm/2.PI.[2ß-sin(2ß)] met Vm=2.PI.²am3 als ß=PI.
Vanwege de isotropie mogen we in de uitdrukking voor het interval ds²=c²dt²-dL², zowel de hoeken Ø en X gelijk aan nul nemen. Het interval krijgt de vorm ds²=c²dt²-a²dß². Stellen we verder c.dt=a.dt dan wordt dit ds²=a²dt²-a²dß². In deze uitdrukking is ß een zuivere ruimte-coördinaat en t een zuivere tijd-coördinaat. De wereldstraal a hangt alleen van de tijd af. We noemen t en ß ook wel de meebewegende (comoving) coördinaten. Nu was r=a.sinß of dr=a.cosß.dß en cdt=a.dt, zodat a=c.dt/dt en ook a=(1/cosß).dr/dß. We zien hier een treffende symmetrie in de ruimte en tijd coördnaten voor de omvang van de wereldstraal.
In dit geval kunnen we t beschouwem als de kosmische eigentijd, die de rol vervult van de maatstaf voor de natuurkundige leeftijd van het heelal.We zouden ß de benaming eigenafstand kunnen toekennen.
Terug naar MENU
c. De metriek van een open wereld.
Als de kromming K=1/a² negatief genomen wordt, dan wordt de wereldstraal a imaginair. Wanneer we nu in de formules voor positieve kromming overal a vervangen door ia dan krijgen we analoge resultaten.
We gebruiken weer de gewone bolcoördinaten r, X en Ø, gedefinieerd in x1=r.cosØ.sinX, x2=r.sinØ.sinX en x3=r.cosX. De infinitesimaal afstand dL tussen twee pumten voor een ruimte met konstante negatieve kromming heeft dan de vorm:
dL²=(dr²)/(1+r²/a²)+r²dO² met dO²=(dX²+sin²X.dز).
De eerste term in deze metrische vergelijking staat in verband met de aangroeiing van de de radiële afstand dLr=dr/Ö(1+r²/a²). De tweede term met de aangroeiing van de transversale afstand dLO=r.dO.
De omtrek van een circel is zoals gewoonlijk 2PI.r. De straal Lr van deze circel volgt uit: Lr=ódr/Ö(1+r²/a²)=a.arcsinh(r/a), waarbij r kan variëren van 0 tot oneindig. Omdat r=a.sinh(Lr/a) kunnen we de omtrek van een circel met straal Lr ook schrijven als: omtrek=2.PI.r=2.PI.a.sinh(Lr/a). Wanneer we ons verwijderen van de oorsprong zien we bij steeds groter wordende radiële afstand, dat de omtrek van een circel ook steeds groter worden.
Het tweedimensionale analogon hiervan is het gewelfde oppervlak van het uiteinde van een trompet, waarbij de welving van het uiteinde zich uitstrekt tot het oneindige. Het gaat hier om de welving of kromming gezien in de lengte-richting van de trompet. De negatieve kromming K correspondeert met een raakcircel met straal a in een punt van ons trompetoppervlak, waarvan de straal niet in maar buiten de trompet valt. We bevinden ons in een punt waar de welving begint en meten de radiële afstand langs het oppervlak in de richting van de uiteinden. De omtrek van een circel ligt in een dwarsdoorsnede van een vlak loodrecht op onze kijkrichting en de trompet. De straal r wordt gemeten in de dwarsdoorsnede.
Het oppervlak van een bol heeft zoals gewoonlijk de waarde 4.PI.r². Voor de inhoud V van deze bol geldt dan: V=ó4.PI.r²dLr. Het oppervlak en de inhoud van de bol zal bij toenemende afstand Lr steeds groter worden en tenslotte zelfs oneindig groot.
Deze wereld met constante negatieve kromming is ruimtelijk gezien open en heeft een oneindig groot volume en is zonder grenzen.
De verhouding tussen omtrek en straal van een circel is 2.PI.sinh(Lr/a)/(Lr/a) en is altijd groter dan 2.PI.. Alleen als r klein is ten opzichte van de wereldstraal a mogen we voor deze verhouding 2.PI nemen.
De geometrie van de negatief gekromde ruimte is gelijk aan de geometrie op een pseudo-hyperbol met imaginaire straal in een fictieve 4-dimensionale ruimte. We kunnen ook bolcoördinaten nemen in deze euclidische 4-ruimte. De pseudo-bolcoördinaten a,X,Ø,ß zijn gelieerd met de euclidische coördinaten van de 4-ruimte x1,x2,x3,x4:
x1=a.sinhß.cosØ.sinX, x2=a.sinhß.sinØ.sinX, x3=a.sinhß.cosX en x4=a.cosß, waarbij r=a.sinhß.
Het analogon voor de ruimte-tijd metriek op de pseudo-hyperbol met imaginaire straal vergeleken met die van de hyperbol met reële straal vinden we door overal in de formules s,ß,a te vervangen door is,iß,ia.
Het ruimte-tijd interval verkrijgt de vorm:
ds²=c²dt²-a²[dß²+sinh²ß(dX²+sin²X.dز].
Met de substitutie c.dt=a.dt wordt deze vorm:
ds²=a²dt²-a²[dß²+sinh²ß(dX²+sin²X.dز].
De infinitesimale radiële afstand is dLr=a.dß, zodat Lr=aß.
De infinitesimale transversale afstand is dLO=a.sinhß.dO met dO²=(dX²+sinh²X.dز), zodat een circelomtrek 2.PI.a.sinhß en een boloppervlak 4.PI.a²sinh²ß is.
De inhoud van een bol is V=ó4.PI.r²dLr of V=ó4.PI.a²sinh²ß.a.dß of V=óPI.a3[cosh(2ß)-1]d(2ß) of V=PI.a3[sinh(2ß)-2ß].Vanwege de isotropie mogen we in de uitdrukking voor het interval ds²=c²dt²-dL², zowel de hoeken Ø en X gelijk aan nul nemen. Het interval krijgt de vorm ds²=c²dt²-a²dß². Stellen we verder c.dt=a.dt dan wordt dit ds²=a²dt²-a²dß². In deze uitdrukking is ß een zuivere ruimte-coördinaat en t een zuivere tijd-coördinaat. De wereldstraal a hangt alleen van de tijd af. We noemen t en ß ook wel de meebewegende (comoving) coördinaten. Nu was r=a.sinhß en cdt=a.dt, zodat a=c.dt/dt en ook a=(1/coshß).dr/dß.
Ook hier kunnen we t weer beschouwem als de kosmische eigentijd, die de rol vervult van de maatstaf voor de natuurkundige leeftijd van het heelal en ß als kosmische eigenafstand. We zien hier weer een treffende symmetrie in de ruimte en tijd coordnaten.
Terug naar MENU
d. De imaginaire tijd in open en gesloten werelden.
Stephen Hawkings kwam op het idee de (heelalleef)tijd imaginair te nemen en dezelfde rol toe te bedelen als de ruimtelijke coördinaten (***). In het twee dimensionale analogon voor de gesloten wereld is de noordpool van de aarde nu het begin van de tijd en de afstand van de noordpool tot een parallelcircel de leeftijd van het heelal. De straal van de parallelcircel blijft weer een maat voor de ruimtelijke omvang van het heelal. Dit heelal blijft eindig en onbegrensd in de ruimte. De zuidpool stelt dan de uiteindelijke ineenstorting of eindkrak van het heelal voor. In de reële tijd is er sprake van een begin en eind (twee singulariteiten), terwijl er in de imaginaire tijd niets bijzonders aan de hand is. Als we van de noordpool naar de zuidpool lopen op de echte aardbol kunnen we op de zuidpool aangekomen gewoon doorlopen en komen uiteindelijk weer bij de noordpool terug. De polen hebben op onze aardbol geen betekenis als singuliere punten en zijn als normale punten te beschouwen. Op gelijksoortige wijze zijn op ons twee dimensionale analogon de polen geen singuliere wereldpunten in deze imaginaire tijd-ruimte.
Als de imaginaire tijd de echte tijd is, kunnen we stellen dat het heelal ook onbegrensd is in de tijd en toch een eindig (of cyclisch) bestaan kent. De natuurwetten waren en blijven altijd geldig ook tijdens de begin en eind fases van het heelal.
Op dezelfde manier kunnen we voor het analogon voor de open wereld de nauwe opening van een trompet beschouwen als het begin van de tijd en de radiële afstand langs de trompet in de richting van het uiteinde als de leeftijd van het heelal. De straal van de parallelcircel (in een dwarsdoorsnede van de trompet) blijft ook hier weer een maat voor de ruimtelijke omvang van het heelal. Dit heelal blijft onbegrensd en oneindig in de ruimte. Als we de beginopening afsluiten met een boloppervlak met positieve kromming is ook deze wereld onbegrensd in de tijd en blijven de natuurwetten geldig voor het begin van het heelal. Omdat dit heelal eeuwig blijft uitdijen is er geen eind fase en is het open heelal ook oneindig in de tijd.
Voor meer hierover zie de lezing van Hawkings over The Beginning of Time.
Terug naar MENU
<< 1 TEKSTEN OVER ONZE RUIMTE-TIJD
<< 2 HET RUIMTE-TIJD CONTINUÜM
<< 3 DE RUIMTE-TIJD IN DE MACROKOSMOS
<< 4 DE RUIMTE-TIJD IN DE MICROKOSMOS
<< 5 RUIMTE-TIJD DIAGRAMMEN
<< 6 TABEL VOOR KWARKS EN HADRONS
<< 7 TABEL VOOR KWARKS EN LEPTONS
<< 8 DE TIJDRAMEN VAN DE RUIMTE
<< 9 BEGRIPPENLIJST KOSMOLOGIE
== 10 WISKUNDIG AANHANGSEL
>> 11 SAMENVATTING
>> 12 REFERENTIES
Terug naar WELKOM OP DE WEBSITE
Copyright 1996 John N's Web. Webmaster en auteur Drs Jan Nentjes.
