Dutch version  3. De ruimte-tijd in de macrocosmos  English

MENU

a. Het beperkte kosmologisch principe

Uitgaande van het kosmologisch principe, dit is dat de ruimte homogeen en isotroop is, zijn vele eigenschappen van de ruimte-tijd af te leiden. Homogeniteit houdt in dat het heelal overal dezelfde eigenschappen bezit en isotropie houdt in dat het heelal in alle richtingen dezelfde structuur heeft. Het heelal ziet er overal, op welke plaats en in welke richting we ook kijken, hetzelfde uit. Een gevolg hiervan is dat druk en dichtheid van materie en straling overal in het heelal hetzelfde is op alle plaatsen en in alle richtingen op een bepaald tijdstip. Een afhankelijkheid van de tijd is evenwel toegestaan, zoals vereist voor een evoluerend heelal uit een oerknal ('big bang'). Dit beperkte kosmologisch principe is in overeenstemming met de huidige waarnemingen, mits we de metingen, zoals voor de dichtheid, uitvoeren voor de gemiddelde massa in grote volumes, groot in vergelijking met de afstanden tussen sterrenstelsels. Hierbij mogen we dan afzien van de plaatselijke samenklontering van massa's in sterren, sterrenstelsels en clusters van sterrenstelsels.

Terug naar MENU

b. Het uitgebreide kosmologisch principe.

Ook zijn er kosmologen, zoals de 'steady state' aanhangers, die een uitgebreid kosmologisch principe eisen. Deze breiden het principe uit tot de tijd. Het heelal zal dan ook op alle tijdstippen, in plaats van op een bepaald tijdstip, op alle plaatsen en in alle richtingen van het heelal, dezelfde eigenschappen hebben. De oerknal en een evoluerend heelal zijn in strijd met dit uitgebreide principe. Ook de achtergrondstraling van het heelal zal een andere duiding, dan als restant van de oerknal, moeten worden gegeven. De algemene wet van behoud van de massa en energie, overleeft de eeuwige schepping van hier en daar af en toe een atoom in de 'steady state' niet. De definitie van gelijktijdigheid, de begrippen 'voor' en 'na', inclusief die van heden, verleden en toekomst in de algemene relativiteitstheorie wordt een uitermate moeilijk, zo niet onoplosbaar probleem. Ook voor de geometrie van een gekromde ruimte-tijd zal een andere oplossing gezocht moeten worden. Vanwege genoemde moeilijkheden bij het handhaven van de 'steady state' zijn de aanhangers van het uitgebreide kosmologische principe gering in aantal.

Terug naar MENU

c. De wet van Hubble voor het uitdijend heelal.

In ons uitdijend heelal zien we de sterrenstelsels in alle richtingen zich van ons verwijderen. Een stelsel dat twee maal zover weg staat, verwijdert zich met twee maal grotere snelheid. Algemeen geldt de wet van Hubble: expansie-snelheid en afstand zijn recht evenredig met elkaar. Bovendien is de evenredigheidsconstante in de wet van Hubble voor alle richtingen dezelfde. Een afhankelijkheid van de evenredigheidsconstante van de tijd is evenwel toegestaan. Deze wet geldt voor iedere waarnemer in het heelal. Elk punt kan daarom gezien worden als middelpunt van het heelal. Elke andere wet voor snelheid en afstand is in strijd met het boven genoemde kosmologisch principe. We kunnen ook stellen dat de wet van Hubble een eigenschap is van de ruimte-tijd.

Terug naar MENU

d. De gravitatie wet van Newton .

Houden wij ons aan het beperkte kosmologische principe en handhaven we de wet van behoud van materie, dan is ook de zwaartekrachtwet van Newton te duiden als een eigenschap van de ruimte-tijd. De enige algemene krachtwet tussen materiedeeltjes die voldoet, is de rechtevenredigheid van kracht met afstand. De evenredigheidsconstante mag weer alleen van de tijd afhangen. Deze krachtwet is eenvoudig te identificeren met de wet van Newton door de juiste evenredigheidsconstante te kiezen. In formule vorm vinden we voor de zwaartekracht F uitgedrukt in afstand r en constante c: F=-c.r, met c=(4/3)pi.µ.G. Hierbij is G de universele gravitatie constante van Newton en pi=3.14. Bedenken we dat de dichtheid µ=M/V (massa gedeeld door volume) en dat V=(4/3)pi.r3, dan kunnen dit ook schrijven in de meer bekende vorm F=-GM/r². De universele wet van de zwaartekracht is een algemene geometrische eigenschap van de ruimte-tijd.

De wet van Newton volgt ook rechtstreeks uit de algemene veldvergelijkingen van Einstein voor de gekromde ruimte-tijd, onder stringente toepassing van het kosmologisch principe en het pure behoud van de massa alleen. Is sprake van energie in massa omzettingen, zoals die plaats vinden bij de oorsprong van ruimte en tijd, de oerknal, dan kunnen we deze veldvergelijkingen beschouwen als de gegeneraliseerde wet van Newton in vier dimensies. Anders gezegd: de door Newton gevonden wet geldt slechts lokaal en huidig, gezien op kosmisch zeer grote schaal in afstand en tijd.

Terug naar MENU

e. De invariantie van het ruimte-tijd interval.

De geometrie van de ruimte-tijd strekt zich uit over vier dimensies, waarin de afstand tussen sterrenstelsels een drie dimensionaal begrip is en de tijd de rol van de vierde dimensie speelt. In plaats van ruimtelijke afstand in drie dimensies, maakt men liever gebruik van het interval tussen twee voorvallen in de ruimte-tijd. Het interval is te zien als de vierdimensionale 'afstand' in de ruimte-tijd. De invariantie van het interval tussen twee gebeurtenissen, dat wil zeggen, dat elke hypothetische waarnemer, waar en wanneer ook, hetzelfde interval zal meten tussen de twee genoemde gebeurtenissen, is een eigenschap van de ruimte-tijd. Uit de invariantie van het interval volgen de Lorentz-transformaties voor afstand en tijd, te weten de lengteverkorting en tijdvertraging bij hoge snelheden. Ook deze invariantie van het interval is een rechtstreeks gevolg van het beperkte kosmologisch principe en de eindigheid van de lichtsnelheid.

Deze invariantie van het interval geldt evenals de wet van Newton slechts huidig en lokaal in kosmisch opzicht, voor zover niet gecorrigeerd met een faktor voor de kromming van de ruimte-tijd.

Terug naar MENU

f. Het interval voor een gekromde ruimte-tijd.

In de gewone drie dimensionale euclidische ruimte, met coördinaten x, y en z, is een boloppervlak het voorbeeld voor een gebogen twee dimensionale ruimte. De wiskundige formule voor een bol met straal r en middelpunt in de oorsprong is x²+y²+z²=r². De kromming k van het boloppervlak is gedefinieerd als k=1/r² en heeft overal in een punt op het boloppervlak dezelfde waarde. Als de kromming positief is, is de straal reëel en is er sprake van een normaal sferisch gebogen vlak. Is de kromming negatief, dan is de straal imaginair en spreken we van een pseudo-sferisch gebogen vlak. Als de kromming nul wordt, dan nadert de straal tot oneindig groot. Een gebied op de bol of pseudo-bol nadert in dit laatste geval tot een plat vlak. Alleen voor het platte vlak met lengte en breedte coördinaten x1 en x2 geldt de stelling van Pythagoras voor de afstand dL tussen twee punten dL²=dx1²+dx2². In de beide andere gevallen zal de laatste uitdrukking gecorrigeerd moeten worden voor de kromming van het gebogen vlak.

fig-5.gif (3712 bytes)

We stellen ons tegenwoordig de kosmische ruimte voor als een gekromde drie dimensionale ruimte ingebed in een fictieve vier dimensionale euclidische ruimte. Dit doen we in analogie met de boven omschreven gekromde twee dimensionale niet euclidische ruimte ingebed in een gewone drie dimensionale euclidische ruimte. We stellen ons een vier dimensionale euclidische ruimte voor met coördinaten x1, x2, x3 en x4. De eerste drie van deze coördinaten laten we samenvallen met de ons bekende drie ruimtelijke coördinaten. De vierde coördinaat moet als een fictieve ruimtelijke coördinaat gezien worden, die overigens niets van doen heeft met de vierde coördinaat van onze ruimte-tijd. Een hyperbol met straal a heeft in deze vier-ruimte de wiskundige vorm x1²+x2²+x3²+x4²=a². De afstand tussen twee punten op de hyperbol is dL²=dx1²+dx2²+dx3²+dx4². We elimineren de vierde coördinaat en vinden voor de formule voor de ruimtelijke afstand ook wel de metrische vergelijking genoemd:

dL²=dx1²+dx2²+dx3²+(x1.dx1+x2.dx2+x3.dx3)²/(a²-x1²-x2²-x3²).

fig-6.gif (2397 bytes)

We gaan over op gewone bolcoördinaten r, X en Ø, gedefinieerd in x1=r.cosØ.sinX, x2=r.sinØ.sinX en x3=r.cosX. Voor de metrische vergelijking vinden we dan:

dL²=(dr²+r²dX²+r²sin²Xdز)+(r²dr²)/(a²-r²).

Dit is te vereenvoudigen tot:

dL²=(dr²)/(1-r²/a²)+r²dO² met dO²=(dX²+sin²Xdز).

De kromtestraal a noemen we ook wel wereldstraal en de kromming R van de ruimte is gedefinieerd in R=1/a². Voor R positief, negatief of nul is er nu sprake van een drie dimensionale ruimte, die sferisch, pseudo-sferisch of vlak genoemd wordt. Als de straal zeer groot wordt, nadert de kromming tot nul. In dit geval naderen de sferische en pseudo-sferische ruimte tot de vlakke ruimte met de pythagorische uitdrukking voor de afstand (dL²=dx1²+dx2²+dx3²). Een aangroeiende straal in de vier-ruimte komt overeen met een uitdijende drie dimensionale ruimte.

Het infinitesimale ruimte-tijd interval ds krijgt de uitdrukking ds²=dL²-c²dt² met voor dL de bovenstaande algemene uitdrukking voor een gekromde drie dimensionale ruimte. In een uitdijend heelal is de kromming van de ruimtelijke afstand een functie van de tijd en dit zal zijn weerslag hebben op de werkelijke structuur van de vier dimensionale ruimte-tijd.

Meer over de metriek van boven beschreven werelden is te vinden in het wiskundig aanhangsel.

Terug naar MENU

g. De geometrie van de gekromde ruimte-tijd.

De geometrie van de gekromde ruimte-tijd beantwoordt in de drie verschillende gevallen aan verschillende meetkundige wetten. De meetkunde van Riemann is van toepassing voor een sferische ruimte. Voor de pseudo-sferische ruimte geldt de meetkunde van Lobatsjewski. De euclidische meetkunde geldt alleen voor een vlakke ruimte. Komt ons heelal overeen met een sferische ruimte dan is deze eindig groot en onbegrensd in analogie met een boloppervlak. Een pseudo-sferisch heelal is oneindig groot en onbegrensd, even als een vlak heelal. Omdat de wereldstraal overal in de ruimte even groot is, heeft het heelal geen rand. Het heelal is daarom als onbegrensd te beschouwen. De benaming 'straal van het heelal' in plaats van kromtestraal is misleidend en zullen we niet gebruiken. Het heelal is geen bol met een rand die uitdijt. De wereldstraal van het gekromde hypervlak, wat sferisch, vlak of pseudo-sferisch gekromd is, staat in elk punt loodrecht op de ons bekende drie ruimtelijke dimensies. Het is de onbegrensde ruimte zelf, die in elk punt uitzet, waardoor de sterrenstelsels van elkaar weg vluchten met snelheden, die groter worden, naarmate er zich meer ruimte tussen de stelsels bevindt. Ook heeft ons heelal geen bevoorrecht middelpunt van waar uit de uitdijing plaats vindt. Elk punt is als middelpunt van uitdijing te beschouwen.

Terug naar MENU

h. De energie inhoud en kromming van de ruimte-tijd.

In de algemene relativiteitstheorie, waarin de wiskundige fundering ligt voor de eigenschappen van de ruimte-tijd, gaat men uit van het principe van eenvoud. Dit is, dat onze ruimte-tijd de meest eenvoudige structuur zal hebben. Daarom zal de kromming van de ruimte-tijd een invariant moeten zijn bij transformaties van de ene naar de andere plaats in het heelal, in overeenstemming met het kosmologisch principe dat ons heelal overal en in alle richtingen dezelfde eigenschappen heeft op een bepaald tijdstip. De kromtestraal mag wel veranderen in de loop van de tijd in overeenstemming met een uitdijend of krimpend heelal.

In het geval van de meest algemene eigenschappen van de ruimte-tijd, wat betreft de algemene vorm van de natuurwetten, moet het principe van eenvoud zelfs uitgebreid worden tot de tijd. We gaan er immers als vanzelfsprekend van uit dat de natuurwetten overal en altijd geldig zijn. Een experiment uitgevoerd in een laboratorium op een bepaalde plaats en tijd zal hetzelfde resultaat opleveren onder dezelfde omstandigheden op elke andere plaats en tijd. Een uitdijend heelal met een oerknal komt overeen met een evolutionair heelal met een begin en eventueel een eind. De ons bekende natuurwetten zijn niet meer van toepassing voor het begin en het einde van het heelal.

In de moderne theorieën over de ruimte-tijd spreekt men van gekromde ruimtes in positieve of negatieve zin. Ook een vlakke ruimte met kromming nul is mogelijk. Dit komt overeen met een altijd uitdijend heelal (negatieve kromming), een heelal waar de uitdijing uiteindelijk tot stilstand komt (nul kromming) en een heelal dat van uitdijing op gegeven ogenblik overgaat tot inkrimping (positieve kromming). Deze kromming R vloeit voort uit de energie-inhoud T van de ruimte, die positief, nul of negatief kan zijn. Uit de algemene veldvergelijkingen.van Einstein volgt de betrekking tussen deze twee laatst genoemde grootheden: R = -kT. (*)

In de gekromde tijd-ruimtes is het begrip afstand praktisch zonder betekenis, wanneer die alleen met lichtstralen gemeten kan worden. Omdat grote afstanden in een uitdijend heelal in de loop van de tijd veranderen en omdat metingen van grote afstanden grote tijdspannes met zich meebrengen, is het bij de huidige stand van de wetenschap een praktisch onmogelijke opgave uit te maken in welk heelal we leven en welke geometrie op ons heelal toepasbaar is. Het grote mysterie van de werkelijke eigenschappen van ruimte en tijd blijft bestaan.

Terug naar MENU

Inhoudsopgave Deel I.

<<  1   TEKSTEN OVER ONZE RUIMTE-TIJD
<<  2   HET RUIMTE-TIJD CONTINUÜM
==  3   DE RUIMTE-TIJD IN DE MACROKOSMOS
>>  4   DE RUIMTE-TIJD IN DE MICROKOSMOS
>>  5   RUIMTE-TIJD DIAGRAMMEN
>>  6   TABEL VOOR KWARKS EN HADRONS
>>  7   TABEL VOOR KWARKS EN LEPTONS
>>  8   DE TIJDRAMEN VAN DE RUIMTE
>>  9   BEGRIPPENLIJST KOSMOLOGIE
>> 10  WISKUNDIG AANHANGSEL
>> 11  SAMENVATTING
>> 12  REFERENTIES

Inhoudsopgave deel II.

Terug naar WELKOM OP DE WEBSITE

Copyright 1996 John N's Web. Webmaster en auteur Drs Jan Nentjes.