Dutch version  2. Het ruimte-tijd continuüm  English version

MENU

De aanzichten van ruimte en tijd, die ik u hier wens voor te leggen, zijn tevoorschijn gekomen vanaf de bodem van de experimentele natuurkunde, en daaruit putten zij hun kracht. Ze zijn radikaal. In het vervolg zal ruimte op zichzelf en tijd op zichzelf gedoemd zijn te vervagen in louter schaduwen, en slechts een soort van eenheid van de twee zal als een onafhankelijke werkelijkheid blijven bestaan.
(H. Minkowski, 1908.)

a. De drie dimensies van de ruimte.

fig-1.gif (2275 bytes)

De banen van sterren en planeten in de ruimte kunnen we wiskundig beschrijven met behulp van een cartesiaans stelsel van drie onderling loodrechte lijnen. De lengte x, breedte y en hoogte z spelen de rol van de drie ruimtelijke coördinaten. We spreken ook wel van de x, y en z dimensies. Voor de afstand r van een punt P in de ruimte (met coördinaten x,y,z) tot de oorsprong O van ons coördinatenstelsel (met coördinaten 0,0,0) geldt de geometrische betrekking van Pythagoras. Deze formule heeft de vorm: r²=x²+y²+z².

Terug naar MENU

b. De vierde dimensie van de tijd.

In veel gevallen willen we de rol van de tijd tot uitdrukking brengen in een wiskundige beschrijving van de beweging van een lichaam. Men kiest dan de tijd als vierde dimensie. Hierbij wordt aan de tijd t een gelijksoortige rol toegedacht als aan de ruimtelijke coördinaten x, y en z. In wiskundige diagrammen wordt de tijd altijd loodrecht afgezet tegen de andere coördinaten.

fig-4.gif (1833 bytes)

We kunnen de weg van een lichtstraal uitgaande van de oorsprong O en arriverend in het punt P vangen in de formule r=ct, waarbij c de lichtsnelheid is. We mogen deze betrekking schrijven als c²t²=x²+y²+z² en ook als x²+y²+z²+i²c²t²=0, waarbij i²=-1 en i=Ö-1. In plaats van t nemen we ict als de vierde coördinaat. Dat de ict-coördinaat door een complex getal wordt voorgesteld, is voor een wiskundige geen bezwaar, omdat er al een gedegen theorie voor deze getallen bestaat. In feite heeft het complexe getal i=Ö-1 hier de formele functie als aangever van het feit dat de tijdlijn loodrecht staat op de ruimtelijke lijnen. Een ruimte-tijd, waarin een bewegend deeltje beschreven kan worden met de coördinaten x, y, z en ict, noemen we een Minkowsky ruimte-tijd. (*)

Terug naar MENU

c. Het ruimte-tijd interval.

fig-2.gif (2698 bytes)

Het interval s wordt gedefinieerd in de betrekking: s²=r²+i²c²t² of  s²=x²+y²+z²+i²c²t².
In dit geval spreken we van het interval tussen het ruimte-tijd punt P (met coördinaten x,y,z,ict) en de ruimte-tijd oorsprong O (met coördinaten 0,0,0,0). In plaats van ruimte-tijd punt gebruiken we in het vervolg de benaming  gebeurtenis. Een gebeurtenis is dan een voorval, dat zich voltrekt op een bepaalde plaats en op een bepaald tijdstip. De betrekking voor het interval, zoals die hierboven is geformuleerd, is te beschouwen als de ruimte-tijd afstand van gebeurtenis P tot de oorsprong O van ruimte en tijd in vier dimensies. De formule voor het interval is te beschouwen als een generalisatie van de wet van Pythagoras voor vier dimensies. Hier wordt wiskundig tot uitdrukking gebracht dat de dimensies x, y, z en ict onderling alle loodrecht op elkaar staan.

Als een deeltje P zich beweegt, dan vormen de wereldpunten van P een wereldlijn in de Minkovsky ruimte. Een deeltje dat beweegt met een constante snelheid v beschrijft een rechte wereldlijn. Zo is OP de wereldlijn van deeltje P dat vertrok uit de oorsprong met constante snelheid v. De tangens van de hoek Ø, gevormd door OP en de ict-as, is evenredig met v/c.

De ict-as zelf is de wereldlijn van een stilstaand deeltje (onze oorsprong), uiteraard met snelheid nul. Een deeltje dat zich verplaatst vanuit de oorsprong met de lichtsnelheid heeft de bisectrice tussen de r-as en ict-as als wereldlijn met hoek Ø = 45 graden.

Omdat er geen snelheden groter dan de lichtsnelheid zijn toegestaan, bestaan er geen wereldlijnen met hoek Ø > 45 graden. Dat wil zeggen, dat er vanuit de oorsprong geen wereldlijnen getrokken mogen worden met hoek Ø > 45 graden.

We zullen op een later tijdstip aantonen, dat een rotatie van de r-as en ict-as over een hoek Ø in de Minkovsky ruimte overeen komt met de Lorentz-transformatie.

De rotatie van de wereldlijn van een electron onder uitzending of emissie van een foton verandert onder draaiing over 90 graden in deze Minkovsky ruimte in de creatie of annihilatie van een elektron-positron paar. Zie hiervoor de ruimte-tijd diagrammen voor onze microkosmos. Snelheden groter dan het licht zijn hier wel toegestaan.

Terug naar MENU

d. De gebieden van de ruimte-tijd.

fig-3.gif (4405 bytes)

Onze ruimte-tijd bestaat uit gebeurtenissen. De gebeurtenissen kunnen met elkaar in verband staan als oorzaak en gevolg of zich afzonderlijk van elkaar voltrekken. Twee gebeurtenissen P en O kunnen alleen met elkaar in verband staan als oorzaak en gevolg als er signalen tussen P en O uitgewisseld kunnen worden.

Voor gebeurtenissen in het heden, die voorvallen op het tijdstip nu, kiezen we het tijdstip t=0. Voor gebeurtenissen in de toekomst geldt dan dat t>0 is en voor gebeurtenissen in het verleden geldt dat t<0 is.

Omdat de lichtsnelheid de maximale signaal snelheid is, geldt voor alle gebeurtenissen P met r²>c²t² of r²-c²t²=s²>0, dat deze niet door oorzaak en gevolg met O zijn te verbinden en in een verboden gebied liggen voor een waarnemer in O.

Alle gebeurtenissen P met r²=c²t² of r²-c²t²=s²=0 zijn met gebeurtenis O verbindbaar als oorzaak en gevolg. Ze zijn met elkaar verbindbaar via licht of andere elektromagnetische signalen.

Voor alle gebeurtenissen met r²-c²t²=s²<0 geldt r²<c²t². Deze gebeurtenissen zijn verbindbaar via signalen beneden de lichtsnelheid, of indien r<ct als toekomstige gebeurtenissen (met t>0) of indien r<-ct als gebeurtenissen uit het verleden (met t<0) voor een waarnemer in O.

Terug naar MENU

e. De Galileï transformatie en de afstand en tijd.

Voor het oplossen van natuurkundige vraagstukken is het soms handig een coördinatentransformatie uit te voeren. Het is mogelijk een natuurkundige wet op wiskundige wijze weer te geven in een bepaald coördinatenstelsel. We kiezen de oorsprong van ons ruimtelijk stelsel met de x, y en z assen zodanig dat ze samenvallen met de locatie en oriëntatie van ons laboratorium, bv. een vaste plaats op aarde, een kunstmaan om de aarde draaiend of een ruimteverkenner op weg naar mars. We kunnen verschijnselen in het ene stelsel vertalen naar een ander stelsel, door de oorsprong te verschuiven (translatie) of de assen te draaien (rotatie).

Voor deze translaties en rotaties geldt in het algemeen, dat de afstand tussen twee punten in rust ten opzichte van elkaar dezelfde waarde oplevert voor willekeurige waarnemers (in de diverse coördinatenstelsels). We zeggen dan, dat de afstand tussen twee ruimtelijke punten een invariante grootheid is. Hetzelfde zal dan ook gelden voor de tijdsduur tussen twee tijdstippen. Ook de tijdsduur tussen twee tijdstippen is hier een invariante grootheid.

Alle transformaties van coördinatenstelsels, die zich ten opzichte van elkaar bewegen en waarbij de afstand en de tijd invariant blijven, noemen we Galileï transformaties. In het algemeen geldt voor de betreffende coördinatenstelsels, dat deze niet onderworpen mogen zijn aan krachten van buitenaf, zoals zwaarte- of traagheidskrachten van newtoniaanse aard. Deze stelsels zijn dan ten opzichte van elkaar in rust of in eenparige rechtlijnige beweging, zoals voor het eerst geformuleerd door Galileï.

Terug naar MENU

f. De Lorentz transformatie en het ruimte-tijd interval.

Wanneer sprake is van coördinaten stelsels die zich met constante snelheden, klein in vergelijking met de lichtsnelheid, ten opzichte van elkaar bewegen, blijkt de invariantie van afstand en tijd.

Wanneer er echter sprake is van snelheden, groot in vergelijking met die van het licht, dan wordt de invariantie van afstand en tijd geschonden. De tijd vertraagt en de lengte verkort. Wanneer we echter uitgaan van de invariantie van het ruimte-tijd interval voor alle waarnemers, dan kunnen we formules opstellen, die deze tijdvertraging en lengteverkorting exact verklaren. Alle transformaties van coördinatenstelsels, die zich met grote snelheden ten opzichte van elkaar bewegen en waarbij het ruimte-tijd interval invariant blijft, noemen we Lorentz-transformaties.

Einstein toonde aan dat de invariantie van het ruimte-tijd interval een logisch gevolg is van de invariantie (het constant zijn) van de lichtsnelheid. De eerder door Lorentz opgestelde formules voor de waargenomen tijdvertraging en lengteverkorting bij hoge snelheden volgen rechtstreeks uit de invariantie van het ruimte-tijd interval.

Terug naar MENU

g. Het behoud van massa en energie.

De wet van behoud van massa wil zeggen dat de massa een invariante grootheid is, evenals de wet van behoud van energie dit zegt voor de energie als aparte grootheid. Evenwel is uit de Lorentz-transformaties wiskundig af te leiden dat ook deze wetten herzien moeten worden als sprake is van hoge snelheden ten opzichte van het licht in het microkosmisch gebied van de atomen of het macrokosmisch gebied van de sterrenstelsels. Massa kan worden omgezet in energie en omgekeerd. Volgens Einstein is de energie E verbonden met de massa m in de betrekking E=mc². De totaliteit van massa en energie blijft echter wel behouden, hierbij dan inbegrepen alle soorten van energie en massa. In feite kunnen we elke willekeurige energie volgens de formule van Einstein uitdrukken als een hoeveelheid massa en omgekeerd elke willekeurige hoeveelheid massa als een hoeveelheid energie. De totale massa en energie bevat in een ruimtelijk volume is een invariante grootheid.

Terug naar MENU

h. Het ruimte-tijd continuüm.

De formules van Lorentz gelden voor eenparige bewegingen van lichamen of ruimtelijke volumes met massa en energie inhouden. In plaats van eenparige beweging spreekt men ook wel van uniforme beweging. Dit is een beweging met een onveranderlijke snelheid in een onveranderlijke richting.

Is er sprake van verandering van snelheid of verandering van richting bij hoge snelheden, dan geldt de invariantie van het interval slechts plaatselijk. We kunnen de ruimte-tijd waarin een veranderlijke beweging plaats vindt, langs de baan verdelen in zeer kleine stukjes. Elk stukje ruimte-tijd is zo klein dat de verandering in snelheid en richting verwaarloosbaar klein blijft. In dit zeer kleine stukje ruimte-tijd, ook wel infinitesimaal gebied genoemd, geldt lokaal de invariantie van het interval. Het interval blijft in dit geval geldig in de infinitesimaal vorm ds²=dx²+dy²+dz²-c²dt². Wanneer we de gehele ruimte-tijd langs de baan verdelen in overlappende infinitesimaal gebiedjes, blijft het theoretisch mogelijk de beweging in wiskundige formules te vangen. Hierbij maken we dan gebruik van de differentiaal en integraal rekening. Verdelen we de gehele ruimte-tijd in elkaar overlappende infinitesimaal gebieden, dan noemen we deze totaliteit ook wel het ruimte-tijd continuüm.

Terug naar MENU

i. Het uitdijende heelal en het ruimte-tijd continuüm.

Volgens de kosmologen expandeert ons heelal onder invloed van de zwaartekracht wetten van Newton. Hierbij is de totaliteit aan materie en energie in ons heelal onderworpen aan deze zwaartekracht, waarbij veranderlijke bewegingen optreden, die slechts te beschrijven zijn met behulp van het ruimte-tijd continuüm.

Alleen wanneer de expansie snelheden zeer klein zijn ten opzichte van de lichtsnelheid gelden de klassieke behoudswetten van afstand, tijd, massa en energie bij Galileï transformaties. De geometrie van de ruimte wordt beschreven door de meetkunde van Euclides.

Bij grotere snelheden en verwaarloosbaar kleine veranderingen in snelheid maken we gebruik van het behoud van het interval bij Lorentz transformaties. De geometrie van de ruimte-tijd valt te beschrijven met de wetten van de speciale relativiteitstheorie van Einstein.

Zijn de snelheden groot ten opzichte van de lichtsnelheid en treden grotere veranderingen in snelheid op, in de vorm van versnellingen of vertragingen, dan moeten we de hulp van het ruimte-tijd continuüm inroepen. In dit laatste geval geldt alleen nog de wet van behoud voor de totale massa-energie inhoud van een lichaam of ruimtelijk begrensd volume. De geometrie van de ruimte-tijd kan worden beschreven met behulp van de algemene relativiteits-theorie van Einstein.

Terug naar MENU

j. Einstein. De algemene veldvergelijking:Einstein - Klik op de foto voor groter beeld.

R[mn] - ½ R.g[mn] = k.T[mn]

Deze vergelijking bestaat uit meerdimensionale grootheden, tensoren genaamd. De indices m en n van de tensoren doorlopen de waarden 0, 1, 2 en 3 corresponderend met 4 dimensies, 3 voor de ruimte en 1 voor de tijd.

In het linkerlid staat een geometrische tensor, gevormd uit twee andere tensoren. Dit zijn de Ricci tensor R[mn] en de fundamentele tensor g[mn]. Deze beide tensoren worden bepaald door de geometrie van de ruimte-tijd. De scalaire factor R is afgeleid van de Ricci tensor en wordt ook wel de scalaire kromming van de ruimte genoemd.

In het rechterlid staat een gewone constante k en de energie tensor T[mn]. De energie tensor wordt bepaald door alle in de ruimte aanwezige massa en energie. De constante k is evenredig met de gravitatie constante in de universele gravitatiewet van Newton.

De veldvergelijking is toepasbaar op een afgesloten ruimtelijk volume, zoals ons zonnestelsel, zwarte gaten of de ruimte als geheel. In woorden uitgedrukt, houdt dit in dat de geometrie van de ruimte correspondeert met de totale energieinhoud van deze ruimte, inclusief de energie, die overeen komt  massa's.

N.B. We kunnen volgens de tensor rekening R bepalen als spoor van R[mn] en T als spoor van T[mn]. Door samentrekking over alle indices volgt dan lokaal (vanwege spoor g = 4) de betrekking voor de scalaire kromming R = - kT, waarbij T bepalend is voor de totale massa-energie van de ruimte.

Deze scalaire kromming van de ruimte hangt rechtstreeks samen met de schaalfaktor van ons heelal, waarvan de grootte bepaald wordt door de huidige mate van uitdijing van onze ruimte-tijd. Dit geldt dan voor het geval we de bovenstaande formule toepassen op ons gehele waarneembare heelal.

Terug naar MENU

k. De kromming van de ruimte-tijd.

In de algemene veldvergelijkingen van Einstein wordt in vier dimensies de totale massa-energie inhoud van een ruimtelijk begrensd volume uitgedrukt in de geometrische kromming van de ruimte-tijd. Deze veldvergelijkingen zijn in bepaalde eenvoudige gevallen op te lossen. Bijvoorbeeld is er een oplossing voor deze vergelijkingen voor een ruimte-tijd met verwaarloosbaar kleine massa-energie inhoud. De kromming is dan simpelweg nul en deze ruimte-tijd noemen we vlak. Is de totaliteit van de massa-energie inhoud positief of negatief dan is de kromming ook positief of negatief. Voor het interval is dan een uitdrukking te vinden, waarin deze kromming een belangrijke rol vervuld, mits aan diverse randvoorwaarden wordt voldaan. Wanneer de kromming voor ons gehele heelal een invariante grootheid is in het continuüm van de ruimte-tijd als geheel, krijgen de uitdrukkingen voor het ruimte-tijd interval zelfs een eenvoudige wiskundige vorm.

fig-5.gif (3712 bytes)

In dit geval kunnen we dan gebruik maken van de geometrie van Riemann voor de positief gekromde ruimte-tijd en de geometrie van Lobatsjevski voor de negatief gekromde ruimte-tijd. De geometrie van de vlakke ruimte-tijd van Minkovski volgt uit beide bovenstaande geometrieën door de kromming van de ruimte-tijd te laten naderen tot nul. Het interval herkrijgt de vorm, die we eerder vonden als de lokale invariant.

Ook in de gekromde ruimte-tijd continua nadert de vorm voor het interval de lokale invariant, als de afstand en tijd voor het infinitesimaal gebied onder beschouwing klein blijven in kosmisch opzicht. Met andere woorden, de kromming van de ruimte-tijd wordt pas merkbaar op kosmisch grote schaal. Kosmisch grote schaal houdt in dat de afstanden groot zijn in vergelijking met de afmeting van het heelal en dat de tijdspannes groot zijn in vergelijking met de leeftijd van het heelal.

Terug naar MENU

l. Afmeting en leeftijd van ons heelal.

Recente schattingen geven voor de leeftijd van het heelal een getal van 15 miljard jaar, met een onzekerheid van plus of min 5 miljard jaar. Daaruit volgt een afmeting voor het heelal van evenveel lichtjaren. Men kan stellen dat tot een afstand van drie miljard lichtjaar van ons verwijderd de lokale invariantie voor het interval geldt en de ruimte-tijd vlak is, zodat hier de geometrie van Minkovski geldt.

Pas voor veel grotere afstanden zal de kromming van de ruimte-tijd merkbaar worden. Omdat we op deze grote afstanden een heelal zien uit een ver verleden en daardoor zoveel verschillend van wat we vlakbij zien, is het voorlopig nog onmogelijk metingen betrouwbaar te ijken. Het onderzoek aan deze verre regionen van de kosmos hangt samen met de vraag of de kromming van de ruimte-tijd in zijn geheel positief, nul of negatief zal zijn. Hetzelfde geldt voor de totale inhoud aan massa en energie van onze kosmos.

Terug naar MENU

Inhoudsopgave Deel I.

<<  1   TEKSTEN OVER ONZE RUIMTE-TIJD
==  2   HET RUIMTE-TIJD CONTINUÜM
>>  3   DE RUIMTE-TIJD IN DE MACROKOSMOS
>>  4   DE RUIMTE-TIJD IN DE MICROKOSMOS
>>  5   RUIMTE-TIJD DIAGRAMMEN
>>  6   TABEL VOOR KWARKS EN HADRONS
>>  7   TABEL VOOR KWARKS EN LEPTONS
>>  8   DE TIJDRAMEN VAN DE RUIMTE
>>  9   BEGRIPPENLIJST KOSMOLOGIE
>> 10  WISKUNDIG AANHANGSEL
>> 11  SAMENVATTING
>> 12  REFERENTIES

Inhoudsopgave deel II.

Terug naar WELKOM OP DE WEBSITE

Copyright 1996 John N's Web. Webmaster en auteur Drs Jan Nentjes.