II. 4 DE RUIMTES VAN DE TIJD.  English version

a. Euclidische ruimte en universele tijd.

7.1 Euclidische ruimte.

Hierin blijft de ruimtelijke afstand tussen twee punten constant. Zijn

de positie vectoren van twee punten, dan geldt de betrekking:

  waarbij de ruimtelijke afstand r onveranderd blijft.

Hierin blijft de ruimtelijke afstand r tussen twee punten constant bij translaties en rotaties van bewegende assenstelsels in de ruimte.
Het tijd interval tussen twee gebeurtenissen zal dan ook niet veranderen bij transformatie van assenstelsels. In dit geval is er sprake van een echte universele tijd. Dat wil zeggen dat in alle coördinatenstesels dezelfde tijd gebruikt kan worden.

In plaats van universele tijd, spreken we ook wel van absolute tijd, om het verschil te onderstrepen met relativistische tijd.

Terug naar MENU

b. Minkovsky ruimte en relativischtische tijd.

Hierin blijft het ruimte-tijd interval s tussen twee punten constant bij transformatie van assenstelsels. Zijn

 

ruimte-tijd coördinaten van twee wereld punten (ruimte-tijd punten) dan geldt

 

 
waarbij het ruimte-tijd interval (wereld-afstand) constant blijft. Uit het constant zijn van s bij coördinaten-transformaties volgen de Lorentz-transformaties.

In plaats van Minkovsky ruimte spreken we ook wel van vlakke ruimte of pseudo-Euclidische ruimte. De laboratorium tijden voor waarnemers in verschillende coördinatenstelsels lopen niet meer gelijk, maar staan wel met elkaar in een eenvoudig wiskundige verband. We spreken hier van relativistische tijd.

Terug naar MENU

c. Riemann ruimte en eigentijd.

Hierin blijft slechts het infinitesimale ruimte-tijd interval onveranderd. Dat wil zeggen alleen als de beide wereld punten zeer dicht bij elkaar liggen, geldt de invariante van het interval. Bovendien hoeft de ruimte nu niet meer vlak te zijn. De wereldafstand ds voldoet aan:

waarbij infinitesimale coördinaat verschillen zijn tussen de beide punten. We sommeren over i en k (alle mogelijke combinaties van 0 tot 3).




We noemen de metrische tensor, die de plaatselijke metriek (nabij de beide wereldpunten) bepaald.

Uitgeschreven krijgen we dan voor het interval s:




De vlakke ruimte is een speciaal geval van de Riemann ruimte, waarbij de metrische tensor de eenvoudigste vorm heeft, zodanig dat




D.w.z.alle behalve en overal in de ruimte.

De kwadratische uitdrukking voor het interval noemen we ook wel de metrische vergelijking. De afwijking van de metriek van de Riemann ruimte van die van de vlakke ruimte weerspiegelt zich in de metrische tensor en hangt samen met de kromming van de betreffende Riemann ruimte.

In een algemene Riemann ruimte zijn de geen constanten meer, maar functies van de coördinaten. Hierbij geldt de voorwaarde dat deze algemene ruimte, vastgelegd door de metrische vergelijking, via een continue coördinaten transformatie is te terug te voeren tot de vlakke ruimte en omgekeerd. De voorwaarden, die hieraan zijn verbonden, zijn voor het eerst vastgelegd door Riemann, een halve eeuw voordat Einstein de algemene relativiteitstheorie formuleerde. Wanneer de metrische vergelijking voldoet aan deze Rieman voorwaarden, dan stelt ze in algemene covariante vorm een zwaartekrachtveld voor van een speciaal soort.

In een Riemann ruimte is het vaak zinvol gebruik te maken van een klok, die met het coördinatenstelsel meebeweegt. Deze klok geeft de eigentijd aan voor het betreffende stelsel.

Terug naar MENU

d. Affiene ruimte.

In het algemeen spreekt men van een metrische ruimte als er een metrische vergelijking bestaat, waarin een gegeneraliseerde afstand (zoals het ruimte-tijd interval) is gedefinieerd. Als deze gegeneraliseerde afstand invariant is bij coördinaten transformatie ligt de metriek van de ruimte vast in de vorm van de metrische tensor.

We leggen een Riemann ruimte bovendien nog de eis op dat het inprodukt van twee vectoren constant blijft bij parallelle vector verplaatsing. Bij deze speciale verplaatsing blijft dan ook de grootte van een vector constant. Onder parallelle vector verplaatsing verstaan we de verschuiving van een vector evenwijdig aan zichzelf langs een geodeet, waarbij de vector steeds dezelfde hoek maakt met deze geodeet.

In een affiene ruimte vervalt de bovengenoemde eis voor een parallelle vector verplaatsing. De grootte van een vector in deze ruimte zal dan niet meer behouden blijven zoals in een Riemann ruimte. Wel geldt hier een algemenere wet voor deze parallelle vector verplaatsing.

Terug naar MENU

INHOUDSOPGAVE DEEL II.

<<  1   HET WAARNEEMBARE UNIVERSUM
<<  2   HET KOSMOLOGISCHE PRINCIPE EN DE HEELALBOL
<<  3   KLASSIEKE HEELALMODELLEN
==  4   DE RUIMTES VAN DE TIJD
>>  5   HET SPECIALE RELATIVITEITS BEGINSEL
>>  6   RELATIVISTISCHE HEELALMODELLEN
>>  7   DE METRIEK VAN OPEN EN GESLOTEN WERELDEN
>>  8   CONSTANTEN EN DEFINITIES
>>  9   OPGAVEN EN OPLOSSINGEN
>> 10  BEGRIPPENLIJST KOSMOLOGIE
>> 11  SAMENVATTING DEEL II
>> 12  REFERENTIES

INHOUDSOPGAVE DEEL I.

Terug naar WELKOM OP DE WEBSITE

Copyright 1996 John N's Web. Webmaster en auteur Drs Jan Nentjes.